De två ytorna $x^2+y^2=z^2$ och $x^2+y^2+z^2=1$ skär varandra då $x^2+y^2=1-x^2-y^2$, dvs för $x^2+y^2=\frac12, z=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Området består därför av två symmetriska delar som ger lika stor integral. Övergång till polära koordinater ger $$\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{K} z^2(x^2+y^2+z^2)\, dxdydz= $$ $$ =2\int_{0}^1\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (r\cos \theta)^2r^2r^2\sin \theta \, d\theta d\varphi dr= $$ $$=2\int_{0}^1 r^6\, dr \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2 \theta \sin \theta d\theta= $$ $$ 2\left[\frac{1}{7}r^7 \right]_{0}^1 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2 \theta \sin \theta d\theta= $$ $$ =\left[\begin{array}{rc} t=&\cos \theta \\ dt=&-\sin \theta d\theta \end{array}\right] = \frac{4\pi}{7} \int^{\frac{1}{\sqrt2}}_{1} t^2(-dt)= $$ $$ =\frac{4\pi}{7} \int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1} t^2\, dt= \frac{4\pi}{7}\left[\frac13 t^3\right]_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1} =\frac{\pi}{21}\left(4-\sqrt2 \right). $$