Online Video Interface - Matematiska institutionen

Dessvärre går det inte alltid att dela upp ett öppet begränsat område i planet i ändligt många bitar av den enkla typ som vi har använt i beviset av Greens formel.

Försök att tänka ut ett begränsat område \(D\subset\mathbb{R}^2\) där det inte går att göra en sådan uppdelning, trots att det skulle gå att definiera kurvintegraler längs randen. Jämför sedan med lösningsförslaget. Tänk på att det finns oändligt många korrekta lösningar som kan se mycket olika ut! (svår)

Visa lösningsförslag

Bilden föreställer en variant av en så kallad logaritmisk spiral (den fortsätter med oändligt många varv inåt). Man kan visa att randen har ändlig längd och att det går att definiera kurvintegralen av ett vektorfält \(\mathbf{F}=(P,Q)\) som är av klass \(C^1\) i en öppen omgivning till \(\overline{D}\). Det går även att bevisa att Greens formel gäller för ett sådant vektorfält, men beviset i videon täcker alltså inte detta fall.

Maila för handledning.