a) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=t,y=t\), \(0\le t\le 1\). Då blir \(dx=dt,dy=dt\) och vi får \[ I=\int_{\Gamma} xy\,dx - x^2\,dy=\int_{0}^1\left(t\cdot t -t^2 \right)\, dt =0. \] b) Vi delar upp kurvan i två linjestycken \(\Gamma_1\) och \(\Gamma_2\) och parametriserar varje del för sig. Den första delen parametriseras genom att sätta \(x=t,y=0\), \(0\le t\le 1\), och den andra parametriseras genom att sätta \(x=1,y=t\), \(0\le t\le 1\). Vi får \[ I=\int_{\Gamma} xy\,dx - x^2\,dy= \] \[ \int_{\Gamma_1} xy\,dx - x^2\,dy+\int_{\Gamma_2} xy\,dx - x^2\,dy= \] \[ \int_{0}^1\left(t\cdot 0\right)\, dt+\int_{0}^1\left(-1^2 \right)\, dt \] \[ \int_{0}^1\left(-1\right)\, dt=-1. \] c) Vi parametriser kurvan genom att sätta \(x=t,y=t^2\), \(0\le t\le 1\). Då blir \(dx=dt,dy=2tdt\) och vi får \[ I=\int_{\Gamma} xy\,dx - x^2\,dy=\int_{0}^1\left(t\cdot t^2 -t^2\cdot 2t \right)\, dt = \] \[ \int_{0}^1\left(-t^3 \right)\, dt =\Big[-\frac14 t^4\Big]_0^1=-\frac14. \]