Genom att till $Y$ lägga locket $Y_{1}=\{x^2+y^2\le 2,\, z=1\}$ (med normalen uppåt) och botten $Y_{-1}=\{x^2+y^2\le 2,\, z=-1\}$ (med normalen neråt) får vi en sluten yta på vilken vi kan tillämpa Gauss sats: $$ \int\!\!\!\int_Y {\bf F\cdot N}\, dS+ \int\!\!\!\int_{Y_{1}} {\bf F\cdot N}\, dS +\int\!\!\!\int_{Y_{-1}} {\bf F\cdot N}\, dS= $$ $$ \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{K} \textrm{div} {\bf F}\, dxdydz. $$ $$ \int\!\!\!\int_{Y_{1}}=\int\!\!\!\int_{x^2+y^2\le 2}(xy,y^2,1)\cdot (0,0,1)\, dxdy= $$ $$ \int\!\!\!\int_{x^2+y^2\le 2} 1\, dxdy=2\pi . $$ $$ \int\!\!\!\int_{Y_{-1}}=\int\!\!\!\int_{x^2+y^2\le 2}(xy,-y^2,-1)\cdot (0,0,-1)\, dxdy= $$ $$ \int\!\!\!\int_{x^2+y^2\le 2} 1\, dxdy=2\pi . $$ $$ \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{K} \textrm{div} {\bf F}= \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{K} (y+2yz+1)\, dxdydz= $$ $$ =\int_{-1}^1 \left(\int\!\!\!\int_{x^2+y^2\le 1+z^2} (y+2yz+1)\, dxdy \right)dz $$ De två termerna $y$ och $yz$ ger p g a symmetri $0$ då vi integrerar först m a p $y$ i den inre integralen. Den tredje termen $1$ ger vid integration m a p $x,y$, arean av en cirkel med radie $\sqrt{1+z^2}$. Vi får $$ =\int_{-1}^1 \pi (1+z^2)\, dz=\left[z+\frac13 z^3\right]^1_{-1}= \frac83 \pi. $$ Sammanfattningsvis: $$ \int\!\!\!\int_Y {\bf F\cdot N}\, dS=\frac83 \pi -2\pi -2\pi =-\frac43 \pi. $$