$\tan z=2i\Leftrightarrow -i\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}=2i \Leftrightarrow \frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}=-2\Leftrightarrow e^{2iz}=-\frac13 \Leftrightarrow e^{2ai-2b}=-\frac13$ där vi har satt $z=a+bi$. Argumentet för $-\frac13$ är $\pi+2k\pi$ (eftersom talet ligger på den negativa reella axeln), så $2a=\pi +k2\pi \Leftrightarrow a=\frac12 \pi +k\pi$. Genom att jämföra beloppen ser vi att $e^{-2b}=\frac13$ vilket ger $b=\frac12 \log 3$. Slutsatsen blir alltså att $$z=\frac12 \pi +i\frac12 \log 3+k\pi .$$