Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Avgör om funktionsserien \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{1+x^{2k}} \] konvergerar likformigt på följande intervall:a) \([0,1/2]\).
b) \([1/2,2]\).
c) \([2,\infty[\).
(ganska svår)
Svar:
a) Ja. För på \([0,1/2]\) gäller att
\[
\frac{x^k}{1+x^{2k}}\le \frac{x^k}{1+0}= x^k \le \left(\frac12\right)^k.
\]
Serien konvergerar likformigt enligt Weierstrass majorantsats eftersom serien
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac12\right)^k
\]
är konvergent.
b) Nej. Serien är inte ens konvergent för \(x=1\) och kan därmed omöjligt vara likformigt konvergent.
c) Ja. För på \([2,\infty [\) gäller att \[ \frac{x^k}{1+x^{2k}}\le\frac{x^k}{0+x^{2k}}= x^{-k}\le \left(\frac12\right)^k. \] Serien konvergerar likformigt enligt Weierstrass majorantsats liksom i a).
b) Nej. Serien är inte ens konvergent för \(x=1\) och kan därmed omöjligt vara likformigt konvergent.
c) Ja. För på \([2,\infty [\) gäller att \[ \frac{x^k}{1+x^{2k}}\le\frac{x^k}{0+x^{2k}}= x^{-k}\le \left(\frac12\right)^k. \] Serien konvergerar likformigt enligt Weierstrass majorantsats liksom i a).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: