Online Video Interface - Matematiska institutionen

I vissa fall kan det vara värdefullt att parametrisera kurvan så att den har konstant hastighet lika med 1. Om kurvan ges av \(x=x(t),y=y(t)\) så betyder detta att tangentvektorn \(T(t)=(x'(t),y'(t))\) ska ha längd 1 för alla \(t\). T ex gäller att den vanliga parametriseringen av enhetscirkeln, \(x=\cos t,y=\sin t\), har hastighet 1 eftersom \(|T'(t)|=|(-\sin t,\cos t)|=\sqrt{(-\sin t)^2+\cos^2t}=1\). Men i praktiken kan det vara besvärligt att göra detta.

Försök att hitta en sådan parametrisering \((x(s),y(s))\) av kurva \(y=\frac23x^{3/2}\). Välj parametern \(s\) så att det i startpunkten gäller att \(x(0)=y(0)=0\) och att \(x(s)\) och \(y(s)\) är växande funktioner av \(s\). (svår)

Visa lösningsförslag

Vi utgår från den vanliga parametriseringen \(x=t,y=\frac23t^{3/2}\) och försöker välja \(t\) som en växande funktion av \(s\) så att kurvan får hastighet 1. Om \(x=t(s),y=\frac23t(s)^{3/2}\) så får vi tangentvektorn \[ T'(s)=\left(t'(s),\sqrt{t(s)}t'(s)\right), \] vilket ger (eftersom \(t'(s)> 0\)) \[ |T'(s)|=t'(s)\sqrt{1+t(s)}=1. \] Differentialekvationen \(t'(s)\sqrt{1+t(s)}=1\) är separabel och villkoret \(x(0)=y(0)=0\) i problemformuleringen ger att \(t(0)=0\). Vi får \[ \int \sqrt{1+t}\, dt=\int ds\Leftrightarrow \frac23(1+t)^{3/2}=s+C. \] Bivillkoret ger nu att \(C=\frac32\), och därefter \[ t=\left(\frac32 s+1\right)^{2/3}-1, \] vilket slutligen ger parametriseringen \[ x(s)=\left(\frac32 s+1\right)^{2/3}-1,\, y(s)=\frac23\left(\left(\frac32 s+1\right)^{2/3}-1\right)^{3/2}. \]

Maila för handledning.