Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Integration av analytiska funktioner är lokalt oberoende av vägen. Däremot behöver inte integrationen vara oberoende av vägen i hela området om detta inte är enkelt sammanhängande. T ex är integralen \[ \int \frac{dz}{z} \] i högsta grad beroende av vägen i området \(\Omega=\mathbb{C}\setminus \{0\}\). Frågan är nu: finns det funktioner som är analytiska i \(\Omega\) men som har en singularitet i origo, sådana att integration ändå är oberoende av vägen för alla slutna \(C^1\)-kurvor i \(\Omega\)? Ge ett exempel på en sådan funktion eller försök hitta ett bevis för att sådana funktioner inte existerar. (ganska lätt)Svar:
Svaret är ja. Ett enkelt exempel på en sådan funktion är
\(f(z)=\frac{1}{z^2}\).
I själva verket kan varje analytisk funktion i \(\Omega\) som har en singularitet i origo och som samtidigt är derivatan till en funktion som är analytisk \(\Omega\) fungera som exempel. Notera att \(f(z)=\frac{1}{z^2}=D\left(\frac{-1}{z}\right)\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: