Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Beräkna kurvintegralen \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy \] i följande fall:a) \(\Gamma\) är linjestycket från punkten \((-1,0)\) till punkten \((1,0)\)?
b) \(\Gamma\) är linjestycket från punkten \((0,-1)\) till punkten \((0,1)\)?
c) \(\Gamma\) är linjestycket från punkten \((1,0)\) till punkten \((-1,0)\)?
d) \(\Gamma\) är linjestycket från punkten \((0,1)\) till punkten \((0,-1)\)?
(ganska lätt)
Svar:
Kurvintegralerna reduceras till vanliga integraler så här:
a) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=t,y=0\). Då blir (\(dx=1\cdot dt,dy=0\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1 dt =2. \] b) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=0,y=t\). Då blir (\(dx=0\cdot dt,dy=1\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1(-1)\, dt =-2. \] c) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=-t,y=0\). Då blir (\(dx=(-1)\cdot dt,dy=0\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1(-1)\, dt =-2. \] d) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=0,y=-t\). Då blir (\(dx=0\cdot dt,dy=(-1)\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1(-1)(-1)\, dt =2. \]
a) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=t,y=0\). Då blir (\(dx=1\cdot dt,dy=0\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1 dt =2. \] b) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=0,y=t\). Då blir (\(dx=0\cdot dt,dy=1\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1(-1)\, dt =-2. \] c) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=-t,y=0\). Då blir (\(dx=(-1)\cdot dt,dy=0\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1(-1)\, dt =-2. \] d) Vi kan parametrisera linjestycket genom att sätta \(x=0,y=-t\). Då blir (\(dx=0\cdot dt,dy=(-1)\cdot dt\)) \[ I=\int_{\Gamma} dx - dy=\int_{-1}^1(-1)(-1)\, dt =2. \]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: