Precis som i videon kan integralen beräknas genom att i stället betrakta den komplexa konturintegralen \[ \int_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^4+4}, \] över samma halvcirkelformade område och sedan låta \(R\to\infty\). Det är fortfarande så att integralen över halvcirkeln \(\gamma_R\) kommer att gå mot noll, eftersom halvcirkelns längd är proportionell mot \(R\), medan integranden kan uppskattas (för \(|z|>\sqrt2\)) genom \[ \left|\frac{1}{z^4+4}\right|\le\frac{1}{|z|^4-4}\le\frac{1}{R^4-4}. \] Skillnaden i detta fall är att integranden nu är icke-analytisk i två punkter innanför \(\Gamma_R\), nämnaren har ju nollställen både i \(1+i\) och \(-1+i\). Vi får därför deformera integrationsvägen \(\Gamma_R\) till två cirklar, \(\gamma_1\) och \(\gamma_2\) runt dessa punkter. Om radierna för dessa väljs så små att varje cirkel bara innehåller ett nollställe så kan integralerna beräknas med hjälp av Caucys integralformel: \[ I_1=\int_{\gamma_1}\frac{dz}{z^4+1}=\int_{\gamma_1}\frac{g_1(z)dz}{z-1-i}= 2\pi i g_1(1+i)=\left(\frac{1}{8}-\frac{i}{8}\right) \pi, \] där \(g_1(z)=\frac{z-1-i}{z^4+4}=\frac{1}{(z-1+i)(z+1-i)(z+1+i)}\). \[ I_2=\int_{\gamma_2}\frac{dz}{z^4+1}=\int_{\gamma_2}\frac{g_2(z)dz}{z+1-i}= 2\pi i g_2(-1+i)=\left(\frac{1}{8}+\frac{i}{8}\right) \pi, \] där \(g_2(z)=\frac{z+1-i}{z^4+4}=\frac{1}{(z-1+i)(z-1-i)(z+1+i)}\). Sammanfattningsvis får vi \[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^4+4}=I_1+I_2=\frac{\pi}{4}. \]

(Anm: Integralen kan även beräknas med partialbråksuppdelning, men det leder till ganska komplicerade räkningar.)