Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Låt för alla \(x\in\mathbb{R}\). \[ f_k(x)=\begin{cases} 1 &\mbox{om } k\le x\le k+1, \\ 0 & \mbox{annars. } \end{cases} \] a) Vad blir \(\lim_{k\to\infty} f_k(x)\)?b) Vad blir \(\lim_{k\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x)\,dx\)?
c) Gäller i detta fall att \[ \lim_{k\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x)\,dx= \int_{-\infty}^{\infty}\left(\lim_{k\to\infty}f_k(x)\right)\,dx \textrm{?} \quad (\textrm{medel}) \]
Svar:
a) För varje fixt \(x\) gäller att \(f_k(x)=0\) om \(k>x\). Det följer därför att
\(\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0\) för alla \(x\in\mathbb{R}\).
b) Det följer direkt av definitionen av \(f_k(x)\) att \[ \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x)\,dx=\int_{k}^{k+1}dx=1 \quad \textrm{för alla }k. \] Följaktligen blir \(\lim_{k\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x)\,dx=1\).
c) Nej. V.L.\(=1\) och H.L.\(=0\).
b) Det följer direkt av definitionen av \(f_k(x)\) att \[ \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x)\,dx=\int_{k}^{k+1}dx=1 \quad \textrm{för alla }k. \] Följaktligen blir \(\lim_{k\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x)\,dx=1\).
c) Nej. V.L.\(=1\) och H.L.\(=0\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: