Vi inför de nya variablerna $u=xy$ och $v=y/x$. Vi ser att $$ \frac{d(x,y)}{d(u,v)} =\left(\frac{d(u,v)}{d(x,y)}\right)^{-1} =\left| \begin{array}{cc} y& x\\ -yx^{-2} &x^{-1} \end{array} \right|^{-1}= $$ $$ \frac{1}{y\cdot x^{-1}-(-yx^{-2})\cdot x} =\frac{x}{2y} $$ dvs $dxdy=(2y/x)\, dudv$. Vi ser också att området $D$ i de nya variablerna defininieras av villkoren $1≤u≤2$ och $1≤v≤2$, dvs bildmängden av $D$ under den bijektiva avbildningen $(x,y)\rightarrow (u,v)$ är $E=\{ (u,v):1≤u≤2,1≤v≤2\}$. Det följer att $$ \int\!\!\!\int_{D}xy \, dxdy=\int_1^2 \int_1^2 xy\cdot \frac{x}{2y} \, dudv= $$ $$ \int_1^2 \int_1^2 \frac{u}{2v} \, dudv=\frac 12 \int_1^2 u\, du \int_1^2 \frac{dv}{v}= $$ $$ \frac12 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{1}^{2} \left[ \ln v \right]_{1}^{2}=\frac12 \cdot \frac32 \cdot \ln 2 = \frac34 \ln 2. $$