Online Video Interface - Matematiska institutionen

Det är (som alltid) viktigt att kontrollera att förutsättningarna för satsen är uppfyllda. Betrakta avbildningen \(\Phi\) från \(uv\)-planet till \(xy\)-planet som definieras av att \(x=u^2-v^2, y=2uv\). Vi observerar att \[ x^2+y^2=(u^2-v^2)^2+(2uv)^2=(u^2+v^2)^2, \] vilket speciellt medför att \(\Phi\) avbildar enhetscirkelskivan \(D_2\) i \(uv\)-planet på enhetscirkelskivan \(D_1\) i \(xy\)-planet.

Beräkna dubbelintegralerna \[ I_1=\iint_{D_1} dxdy \quad \textrm{och} \quad I_2= \iint_{D_2} \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| dudv. \] Varför är \(I_1\ne I_2\)? (medel)

Visa lösningsförslag

\(I_1=\pi\) eftersom integralen helt enkelt räknar ut arean av enhetscirkelskivan. För \(I_2\) får vi först \[ \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| =\left| \begin{array}{cc} 2u&-2v\\ 2v& 2u \end{array} \right| =4(u^2+v^2), \] vilket med polära koordinater ger \[ I_2=\iint_{D_2}4(u^2+v^2)\, dudv= \] \[ \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^14r^2\cdot r\, dr= 2\pi \Big[r^4\Big]_0^1=2\pi. \] Att \(I_1\ne I_2\) beror i det här fallet på att avbildningen \(\Phi\) inte är en bijektion. I själva verket svarar varje punkt i \(D_1\) (utom origo) mot precis två punkter i \(D_2\).

Maila för handledning.