Online Video Interface - Matematiska institutionen

Betrakta den yta i $\mathbb{R}^3$ som är bilden till den avbildning $\mathbf{r}: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ som definieras genom att \[ \mathbf{r}(u,v)=(uv+1,u^2+v^2,u^2-v^2). \] Beräkna $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$ och bestäm sedan den (unika) punkt $p$ på ytan där $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=\mathbf{0}$. (ganska lätt)

Visa lösningsförslag

Vi ser att $\mathbf{r}_u=(v,2u,2u)$ och $\mathbf{r}_v=(u,2v,-2v)$, varefter en kort räkning ger att \[ \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(-8uv,2u^2+2v^2,-2u^2+2v^2). \] Om denna vektor ska vara nollvektorn så måste speciellt gälla att $2u^2+2v^2=0$, vilket bara inträffar om $u=v=0$. Insättning i de övriga komponenterna ger att vi verkligen får nollvektorn. Motsvarande punkt på ytan är $\mathbf{r}(0,0)=(1,0,0)$.

Maila för handledning.