Vi ansätter \[ y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \] och noterar att bivillkoret $y(0)=1$ ger att $a_0=1$. Vi ser även att insättning av \(x=0\) i ekvationen medför att \(y'(0)=0\). Derivering ger sedan att \[ y'(x)=\sum_{k=2}^{\infty} ka_kx^{k-1}, \] och ekvationen kan därmed skrivas \[ \sum_{k=2}^{\infty} ka_kx^{k-1}+2\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{k+1}=0. \] Om vi successivt jämför koefficienter ser vi att

koefficienten för \(x\) är \(0\) \(\Rightarrow 2a_2+2a_0=0 \Rightarrow a_2=-1\),

koefficienten för \(x^2\) är \(0\) \(\Rightarrow 3a_3+2a_1=0 \Rightarrow a_3=0\),

koefficienten för \(x^3\) är \(0\) \(\Rightarrow 4a_4+2a_2=0 \Rightarrow a_4=\frac12\),

koefficienten för \(x^4\) är \(0\) \(\Rightarrow 5a_5+2a_3=0 \Rightarrow a_5=0\),

koefficienten för \(x^5\) är \(0\) \(\Rightarrow 6a_6+2a_4=0 \Rightarrow a_6=-\frac1{6}\)

koefficienten för \(x^6\) är \(0\) \(\Rightarrow 7a_7+2a_5=0 \Rightarrow a_7=0\),

koefficienten för \(x^7\) är \(0\) \(\Rightarrow 8a_8+2a_4=0 \Rightarrow a_8=\frac1{24}\),

\(\vdots\)

Vi ser att alla udda koefficienter blir noll och att de jämna ges av \(a_{2k}=\frac{(-1)^k}{k!}\) (visas lämpligen med induktion) och vi får alltså serien $$ y(x)= 1-x^2+\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{6}x^6+\ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{n!}=e^{-x^2}. $$ Det är lätt att kontrollera att serien konvergerar för alla \(x\) och att integrerande faktor ger samma svar.