a) Nej. Om \(x\ne 0\) så gäller att \(0\le \cos x <1\), och då följer att \(\cos^kx=(\cos x)^k\to 0\). Men om \(x=0\) så följer att \(\cos^kx=1\) för alla \(k\). Slutsatsen blir att gränsfunktionen \(f(x)\) är 0 för \(x\ne 0\) och \(f(0)=1\), dvs funktionen är diskontinuerlig. Därmed kan inte konvergensen vara likformig enligt sats i avsnitt 12:5.

b) Ja. Från a) ser vi att \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\lim_{k\to\infty}f_k(x)\right)\,dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}0\,dx=0. \] Vi visar nu att \[ \lim_{k\to\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f_k(x)\,dx=0 \] på följande sätt: Låt \(\epsilon>0\) vara godtyckligt. Vi ser att \(0\le f_k(x)-f(x)\le 1\) så att \[ \int_{0}^{\epsilon/2}|f_k(x)-f(x)|\, dx <\frac{\epsilon}{2}. \] Men på intervallet \([\frac{\epsilon}{2},\frac{\pi}{2}]\) gäller att \(|f_k(x)-f(x)|\le (\cos \frac{\epsilon}{2})^k<\frac{\epsilon}{\pi}\) för \(k>N\) om vi väljer \(N\) tillräckligt stort (enligt gränsvärdesdefinitionen), eftersom \(\cos \frac{\epsilon}{2}\) är strikt mindre än 1. Då följer att \[ \int_{\epsilon/2}^{\pi/2}|f_k(x)-f(x)|\, dx<\frac{\epsilon}{\pi}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{\epsilon}{2}, \] för \(k>N\). Våra båda uppskattningar tillsammans ger att \[ 0\le \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f_k(x)\,dx<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \] för \(k>N\), vilket visar påståendet enligt gränsvärdesdefinitionen.

(Anm: Detta resonemang visar att likformig konvergens inte är nödvändig för att man ska kunna göra en gränsövergång under integraltecknet, även om det i praktiken behövs om man vill kunna visa satser.)