\[\lim_{x\to 1} \dfrac{\sin 3\pi x}{e^x-e}=\Big[\begin{array}{rl}x=&1+t\\ t=&x-1 \end{array} \Big]=\]\[\lim_{t\to 0} \dfrac{\sin (3\pi +3\pi t)}{e\cdot e^t-e}=\dfrac1e\lim_{t\to 0} \dfrac{-\sin (3\pi t)}{e^t-1}=\]\[-\dfrac{3\pi}e\lim_{t\to 0} \dfrac{\dfrac{\sin (3\pi t)}{3\pi t}}{\dfrac{e^t-1}{t}}=-\frac{3\pi}e\cdot \dfrac11=-\dfrac{3\pi}e.\]Här har vi använt kvotregeln, standardgränsvärdet för $e^x$ samt att\[\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin (3\pi t)}{3\pi t}=1,\]vilket är en trivial konsekvens av standardgränsvärdet för $\sin x$ (sätt $s=3\pi t$).