Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Antag att vi definierar en (diskontinuerlig) funktion genom att sätta $f(x)=0$ om $x$ är ett rationellt tal, och $f(x)=1$ om $x$ är ett irrationellt tal. Kommer under- och översummorna $A$ och $B$ att bestämma ett entydigt tal $I$ genom villkoren $A\le I\le B$ för alla $A$ och $B$?Svar:
Så som funktionen är definierad blir på varje delintervall av $[0,1]$ funktionens maximum lika med $1$ och dess minimum lika med $0$. Det följer att för vilken indelning vi än betraktar blir\[A=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\cdot\Delta x_k=0,\]och\[B=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\cdot\Delta x_k=\sum_{k=1}^n \Delta x_k=1,\](Summan av delintervallens längder blir ju hela intervallets längd).
Eftersom alla $A$ blir $0$ och alla $B$ blir $1$ så blir $I$ inte entydigt bestämt (varje $I$ med $0\le I\le 1$ uppfyller olikheterna).
Man kan uttrycka det som att med dom metoder som vi använder här så går det inte att tilldela $I$ något entydigt värde, eller som att funktionen $f(x)$ inte är integrerbar.
Eftersom alla $A$ blir $0$ och alla $B$ blir $1$ så blir $I$ inte entydigt bestämt (varje $I$ med $0\le I\le 1$ uppfyller olikheterna).
Man kan uttrycka det som att med dom metoder som vi använder här så går det inte att tilldela $I$ något entydigt värde, eller som att funktionen $f(x)$ inte är integrerbar.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: