Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Vi har sett att medelvärdessatsen medför attI. Om $f'(x)\ge 0$ på intervallet $]a,b[$ så gäller att $f(x)$ är växande på $]a,b[$.
II. Om $f'(x)> 0$ på intervallet $]a,b[$ så gäller att $f(x)$ är strikt växande på $]a,b[$.
Gäller omvändningarna till dessa påståenden? Men andra ord:
a) Är det sant att om $f(x)$ är växande på $]a,b[$ så gäller att $f'(x)\ge 0$ på intervallet $]a,b[$?
b) Är det sant att om $f(x)$ är strikt växande på $]a,b[$ så gäller att $f'(x)> 0$ på intervallet $]a,b[$?
Svar:
a) Ja. Ty om $f(x)$ är växande så kommer det att gälla att \[ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0\] för alla $x\in ]a,b[$ och $h$ sådana att $x+h\in ]a,b[$. Enligt lagen om olikheter för gränsvärden följer att alla gränsvärden av sådana kvoter är större än eller lika med $0$.
b) Nej. T ex är funktionen $f(x)=x^3$ strikt växande på intervallet $]-1,1[$, men $f'(0)=0$.
b) Nej. T ex är funktionen $f(x)=x^3$ strikt växande på intervallet $]-1,1[$, men $f'(0)=0$.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: