Enligt formeln för halva vinkeln för tangens gäller\[\tan^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}.\]Speciellt får vi att\[\tan^2 \dfrac{\pi}{12}=\tan^2 \dfrac{\dfrac{\pi}{6}}{2}=\dfrac{1-\cos \dfrac{\pi}{6}}{1+\cos \dfrac{\pi}{6}}=\]\[\dfrac{1-\dfrac{\sqrt3}{2}}{1+\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}=(2-\sqrt3)^2.\](Förlängning med konjugatuttrycket.) Det följer att\[\tan \dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt3,\] eftersom tangens är positiv på $]0,\dfrac12 \pi[$.