Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Använd andraderivatkriteriet för att bestämma karaktären hos de stationära punkterna till funktionen \[ f(x)=e^{x}\sin x \] i intervallet $[-\pi,\pi]$.Räkna upp de kritiska punkterna i växande ordning, separerade av kommatecken. Ange även dessas karaktär i motsvarande ordning. Karaktär anges med "min", "max" eller "terrass", separerade med kommatecken.
Svar:
Med hjälpvinkelmetoden får vi \[ f'(x)=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x= \]\[ e^{x}(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}e^{x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4}). \] $f'(x)$ har nollställen när $x+\dfrac{\pi}{4}=k\cdot \pi, k\in \mathbb{Z}$, vilket i intervallet $[-\pi,\pi]$ ger $x_1=-\dfrac{\pi}{4}$ och $x_2=\dfrac{3\pi}{4}$.
Vi får vidare för andraderivatan:\[ f''(x)=D\left(\sqrt{2}e^{x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})\right)= \]\[ \sqrt{2}e^{x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})+\sqrt{2}e^{x}\cos(x+\dfrac{\pi}{4})= \]\[ 2e^{x}\sin(x+\dfrac{\pi}{2})=2e^{x}\cos(x), \]där vi använt hjälpvinkelmetoden ännu en gång.
Vi ser nu att \[ f''(x_1)=f''(-\dfrac{\pi}{4})=2e^{-\dfrac{\pi}{4}}\cos(-\dfrac{\pi}{4})=\sqrt2e^{-\dfrac{\pi}{4}}>0, \] dvs $x_1$ är en minpunkt. På samma sätt följer att\[ f''(x_2)=f''(\dfrac{3\pi}{4})=2e^{\dfrac{3\pi}{4}}\cos(\dfrac{3\pi}{4})= -\sqrt2e^{\dfrac{3\pi}{4}}<0, \]dvs $x_2$ är en maxpunkt.
Vi får vidare för andraderivatan:\[ f''(x)=D\left(\sqrt{2}e^{x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})\right)= \]\[ \sqrt{2}e^{x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})+\sqrt{2}e^{x}\cos(x+\dfrac{\pi}{4})= \]\[ 2e^{x}\sin(x+\dfrac{\pi}{2})=2e^{x}\cos(x), \]där vi använt hjälpvinkelmetoden ännu en gång.
Vi ser nu att \[ f''(x_1)=f''(-\dfrac{\pi}{4})=2e^{-\dfrac{\pi}{4}}\cos(-\dfrac{\pi}{4})=\sqrt2e^{-\dfrac{\pi}{4}}>0, \] dvs $x_1$ är en minpunkt. På samma sätt följer att\[ f''(x_2)=f''(\dfrac{3\pi}{4})=2e^{\dfrac{3\pi}{4}}\cos(\dfrac{3\pi}{4})= -\sqrt2e^{\dfrac{3\pi}{4}}<0, \]dvs $x_2$ är en maxpunkt.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: