Online Video Interface - Matematiska institutionen

I videon visades att \[\dfrac{\ln(1+x_n)}{x_n} \to 1,\,\, \textrm{ nä r }\,\, n\to \infty,\]där $x_n$ är talföljden $x_n=\dfrac{1}{n}$, $n=1,2,3,\ldots$

Visa att det även är sant att\[\dfrac{\ln(1+y_n)}{y_n} \to 1,\,\, \textrm{ nä r }\,\, n\to \infty,\]där $y_n$ är talföljden $y_n=-\dfrac{1}{n}$, $n=1,2,3,\ldots$

Visa lösningsförslag

\[\dfrac{\ln(1+y_n)}{y_n} = \dfrac{\ln\left(1-\dfrac1n\right)}{-\dfrac1n}=(-n)\ln\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\]\[=\ln\left(\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{-n}\right)=\ln\left(\left(\dfrac{n}{n-1}\right)^{n}\right)=\]\[\ln\left(\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right).\]Om vi nu sätter $k=n-1$, och observerar att $n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty$, så övergår det hela i\[\ln\left(\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^{k}\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right)\to \ln(e)+\ln(1)=1.\](Jämför med resonemanget för $x_n$ i videon.)

Maila för handledning.