Karaktäristiska polynomet till matrisen ovan, som vi betecknar med $A$, är \[p_a(\lambda)=\lambda^2-2\lambda+1-2a.\] En kvadratkomplettering ger vid handen att egenvärdena till matrisen är \[\lambda_1=1-\sqrt{2a}\] och \[\lambda_2=1+\sqrt{2a}.\] Om $a$ är skilt ifrån noll har vi $\lambda_1\neq \lambda_2$, men om $a<0$ saknas reella rötter. När $a=0$ har $p_a$ en dubbelrot i $\lambda=1$. Koefficientmatrisen i $(A-\lambda \mathrm{Id})x=0$ ges för $a=0$ av \[\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\2 & 0\end{array}\right),\] och denna matris har rang $1$. Detta i sin tur betyder att vi har en enda egenvektor. Därmed är $A$ inte diagonaliserbar när $a=0$. Matrisen $A$ är däremot diagonaliserbar för alla $a>0$.