Problem:
Bestäm matrisen, relativt standardbaserna, för avbildningen $T \colon P_3(\mathbb{R}) \to P_1(\mathbb{R})$ som fås genom sammansättning av avbildningarna \[S_1\colon P_3\to P_2,\quad S_1(p)=2p'\] och \[S_2\colon P_2\to P_1, \quad S_2(p)=(x\cdot p)''.\]Jämför ditt svar med lösningsförslaget.
Vi bestämmer först matrisen för $S_1$. Vi har
\[S_1(1)=0, \quad S_1(x)=2, \quad S_1(x^2)=4x, \quad S_2(x^3)=6x^2\]
vilket efter koordinatframställning i basen $\{1,x,x^2\}$ ger matrisen
\[\left(\begin{array}{cccc}0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 4 & 0\\0 & 0 & 0 & 6\end{array}\right).\]
Därefter undersöker vi verkan av $S_2$ på basvektorerna $\{1,x,x^2\}$. Vi har
\[S_2(1)=0, \quad S_2(x)=2 \quad S_2(x^2)=6x,\]
vilket ger oss matrisen
\[\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0\\0 & 0 & 6\end{array}\right).\]
Efter matrismultiplikation erhåller vi nu matrisen för $S_2\circ S_1$:
\[\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 8 & 0\\0 & 0 & 0 & 36\end{array}\right).\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans:
Problem:
Bestäm matrisen, relativt standardbaserna, för avbildningen $T \colon P_3(\mathbb{R}) \to P_1(\mathbb{R})$ som fås genom sammansättning av avbildningarna \[S_1\colon P_3\to P_2,\quad S_1(p)=2p'\] och \[S_2\colon P_2\to P_1, \quad S_2(p)=(x\cdot p)''.\]Jämför ditt svar med lösningsförslaget.
Vi bestämmer först matrisen för $S_1$. Vi har
\[S_1(1)=0, \quad S_1(x)=2, \quad S_1(x^2)=4x, \quad S_2(x^3)=6x^2\]
vilket efter koordinatframställning i basen $\{1,x,x^2\}$ ger matrisen
\[\left(\begin{array}{cccc}0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 4 & 0\\0 & 0 & 0 & 6\end{array}\right).\]
Därefter undersöker vi verkan av $S_2$ på basvektorerna $\{1,x,x^2\}$. Vi har
\[S_2(1)=0, \quad S_2(x)=2 \quad S_2(x^2)=6x,\]
vilket ger oss matrisen
\[\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0\\0 & 0 & 6\end{array}\right).\]
Efter matrismultiplikation erhåller vi nu matrisen för $S_2\circ S_1$:
\[\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 8 & 0\\0 & 0 & 0 & 36\end{array}\right).\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: