Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Vilken eller vilka av de följande mängderna utgör en ON-bas för vektorrummet $\mathbb{R}^3$ utrustat med inre produkten \[\langle u,v\rangle=2u_1v_1+u_2v_1+u_1v_2+u_2v_2+u_3v_3?\] \[a) \left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right\}\] \[b)\left\{\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right\}\]Svar:
a) spänner inte upp $\mathbb{R}^3$ och är således ingen bas, speciellt inte en ON-bas.
b) utgör en bas för $\mathbb{R}^3$, men är ingen ON-bas, relativt den givna inre produkten, då exempelvis \[\left\langle \left(\begin{array}{c}1 \\1\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\right\rangle=2\cdot 1\cdot 1+1\cdot1+1\cdot (-1)+1\cdot (-1)=2+1-1-1=1\neq 0.\] (mängden i b) är däremot ortogonal relativt den Euklidiska inre produkten.)
b) utgör en bas för $\mathbb{R}^3$, men är ingen ON-bas, relativt den givna inre produkten, då exempelvis \[\left\langle \left(\begin{array}{c}1 \\1\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\right\rangle=2\cdot 1\cdot 1+1\cdot1+1\cdot (-1)+1\cdot (-1)=2+1-1-1=1\neq 0.\] (mängden i b) är däremot ortogonal relativt den Euklidiska inre produkten.)
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: