Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Vi har sett att Ordo-termer i viss mening bär sig åt som polynom vid algebraiska räkningar. Men hur är det med differential- och integralkalkyl?a) Om $f(x)=O(x^n)$, gäller det att $\int_0^x f(t)\, dt=O(x^{n+1})$?
b) Om $f(x)=O(x^n)$, gäller det att $D(f(x))=O(x^{n-1})$?
Jämför dina svar med lösningsförslaget.
a) Ja. Om $f(x)$ uppfyller villkoret $|f(x)|\le C|x|^n$ så följer att\[\left|\int_0^x f(t)\, dt\right| \le \int_0^x |f(t)|\, dt \le\]\[\int_0^x Ct^n\, dt =C\cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1}=C'\cdot x^{n+1},\]om $x>0$ (och motsvarande gäller för $x<0$).
b) Nej. $|f'(x)|$ kan bli mycket stor, även om $|f(x)|$ är litet. T ex gäller att $f(x)=x^2\sin \frac1x$ är $O(x^2)$ eftersom $|f(x)|\le x^2$. Men $f'(x)=2x\sin \dfrac1x-\cos\frac1x$ går inte mot $0$ när $x\to 0$ och kan därför speciellt inte vara $O(x)$.
b) Nej. $|f'(x)|$ kan bli mycket stor, även om $|f(x)|$ är litet. T ex gäller att $f(x)=x^2\sin \frac1x$ är $O(x^2)$ eftersom $|f(x)|\le x^2$. Men $f'(x)=2x\sin \dfrac1x-\cos\frac1x$ går inte mot $0$ när $x\to 0$ och kan därför speciellt inte vara $O(x)$.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: